今年度の入試問題から:

2022年度一橋大学第1問

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毎年恒例?の「その年の数(今年は2022)」を素材にした問題です。


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とりあえず両辺を2で割りましょう:


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1+0+1+1=3なので、1011は3の倍数ですね。両辺を3で割りましょう:


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これ以上は割れそうもないですね。指数の部分の毎回-1の部分が鬱陶しいので、x=a-1y=b-1z=c-1w=d-1とすると、


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を満たす(x, y, z, w)の組を求める問題に帰着されました。(問題が求めている(a, b, c, d)は、(x, y, z, w)に一律に+1すればよいので)ここでひと段落。


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を眺めます。眺めてもどうしようもないので、当てずっぽうに数字を入れてみます。例えば(x, y, z, w)=(1, 2, 3, 4)とか。


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ここで気付きます2x3yも2x3wも大抵、偶数なので、


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は、あり得ないことになります。ここで「大抵」と書いたのは、例外的にxかzの一方が0ならば、


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のあり得るパターンになります(20=1なので)。よって、以下はとりあえず


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と仮定して話を進めましょう。ここで一歩前進。


さてx=0の時


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となります。ここでまた気付きます。3y2x3wも大抵、3の倍数なので、


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は、あり得ないことになります(337は3の倍数ではないので)。ここでさらに一歩前進。


さてyかwの一方は0でなければならないのですが、仮にy=0の時


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となりますが、336 = 24 × 3 × 7は7の倍数なので、2z3wと等しくなることはありません。よってx=0の時は、w=0であることがわかります。


ゴールは目前です。


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大分、式が軽くなりましたね。後はこれを満たす(y, z)を探せばよいのです。とはいえ、「こんな方程式の解を求められるの?」と不安に思う人もいますが、ご安心ください。


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2つの正の数の和で337で表すので、3yも2zも337未満でなければなりません。例えば36=729で337を超えるので、yとしては5以下のみを調べればよいのです。後は


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と移項してから、ひたすら数字をあてはめて探すのみです。


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よってx=0の時、(x, y, z, w)=(0, 4, 8, 0)の組しかないことがわかりました。(*)以降しばらくx=0を仮定してきましたが、w=0の時も同様に(x, y, z, w)=(8, 0, 0, 4)の組にたどり着きます。


最後に一律に+1して


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