2015年度東京大学（理系）第６問

𝒏を正の整数とする。以下の問いに答えよ。

• 関数𝒈(𝒙)を次のように定める。
  
  
  
  𝒇(𝐱)を連続な関数とし、𝒑、𝒒を実数とする。
  
  
  
  をみたす𝒙に対して𝒑≦𝒇(𝒙)≦𝒒が成り立つとき、次の不等式を示せ。
  
  
• 関数𝒉(𝒙)を次のように定める。
  
  
  
  このとき、次の極限を求めよ。
  
  

2015年度東京大学（理系）第６問

𝒏を正の整数とする。以下の問いに答えよ。

• 関数𝒈(𝒙)を次のように定める。
  
  
  
  𝒇(𝐱)を連続な関数とし、𝒑、𝒒を実数とする。
  
  
  
  をみたす𝒙に対して𝒑≦𝒇(𝒙)≦𝒒が成り立つとき、次の不等式を示せ。
  
  
• 関数𝒉(𝒙)を次のように定める。
  
  
  
  このとき、次の極限を求めよ。
  
  

2020年度早稲田大学政治経済学部入試数学第3問

性能の相異なるジュース製造機が全部で𝑛台ある。１台目を使って𝑥𝐋（リットル）のジュースを製造すると𝑥2円の費用が掛かり，2台目を使って𝑥𝐋ジュースを製造すると2𝑥2円の費用が掛かる。 以下，同様にして，𝑘台目の製造機を使って𝑥𝐋のジュースを製造すると2𝑘-1𝑥2の費用が掛かる（𝑘=2, 3, ..., 𝑛）。以下の空欄 （あ） 〜 （か） に当てはまる数または数式を求めよ。答のみ解答欄に記入せよ。

• １台目と２台目の製造機のみを使って合計𝑥𝐋のジュースを製造するとき，必要となる費用の最小額を計算したい。１台目を使って𝑡𝐋 (0≤𝑡≤𝑥)のジュースを製造し，２台目を使って残りの(𝑥−𝑡𝐋)のジュースを製造するとき，必要となる費用の総額を𝑡を含む式として表せば （あ） 円となる。この値が最小になるように𝑡の値を選べば，その結果として，費用の総額の最小値は （い） 円となる。
• １台目，２台目，３台目の製造機を使って合計𝑥𝐋のジュースを製造する。１台目と２台目を使って合計𝑡𝐋 (0≤𝑡≤𝑥)のジュースを製造し，３台目を使って残りの(𝑥−𝑡)𝐋のジュースを製造するとき，必要となる費用の総額の最小値をtを含む式として表せば （う） 円となる。この値が最小になるように𝑡の値を選べば，その結果として，費用の総額の最小値は （え） 円となる。
• １台目から𝑘台目までの製造機を使って合計𝑥𝐋のジュースを製造するときに必要な費用の総額の最小値が𝑎𝑘𝑥2円に等しいとき，𝑎𝑘と𝑎𝑘−1のあいだには （お） という関係がある。これを利用すれば，𝑛台すべての製造機を使って合計𝑥𝐋のジュースを製造するときに必要な費用の総額の最小値が （か） 円となることが分かる。

2022年度一橋大学第１問