2015年度東京大学(理系)第6問

𝒏を正の整数とする。以下の問いに答えよ。
  • 関数𝒈(𝒙)を次のように定める。

    math

    𝒇(𝐱)を連続な関数とし、𝒑𝒒を実数とする。

    math

    をみたす𝒙に対して𝒑≦𝒇(𝒙)≦𝒒が成り立つとき、次の不等式を示せ。

    math
  • 関数𝒉(𝒙)を次のように定める。

    math

    このとき、次の極限を求めよ。

    math







2020年度早稲田大学政治経済学部入試数学第3問

性能の相異なるジュース製造機が全部で𝑛台ある。1台目を使って𝑥𝐋(リットル)のジュースを製造すると𝑥2円の費用が掛かり,2台目を使って𝑥𝐋ジュースを製造すると2𝑥2円の費用が掛かる。 以下,同様にして,𝑘台目の製造機を使って𝑥𝐋のジュースを製造すると2𝑘-1𝑥2の費用が掛かる(𝑘=2, 3, ..., 𝑛)。以下の空欄 (あ)(か) に当てはまる数または数式を求めよ。答のみ解答欄に記入せよ。
  • 1台目と2台目の製造機のみを使って合計𝑥𝐋のジュースを製造するとき,必要となる費用の最小額を計算したい。1台目を使って𝑡𝐋 (0≤𝑡≤𝑥)のジュースを製造し,2台目を使って残りの(𝑥−𝑡𝐋)のジュースを製造するとき,必要となる費用の総額を𝑡を含む式として表せば (あ) 円となる。この値が最小になるように𝑡の値を選べば,その結果として,費用の総額の最小値は (い) 円となる。
  • 1台目,2台目,3台目の製造機を使って合計𝑥𝐋のジュースを製造する。1台目と2台目を使って合計𝑡𝐋 (0≤𝑡≤𝑥)のジュースを製造し,3台目を使って残りの(𝑥−𝑡)𝐋のジュースを製造するとき,必要となる費用の総額の最小値をtを含む式として表せば (う) 円となる。この値が最小になるように𝑡の値を選べば,その結果として,費用の総額の最小値は (え) 円となる。
  • 1台目から𝑘台目までの製造機を使って合計𝑥𝐋のジュースを製造するときに必要な費用の総額の最小値が𝑎𝑘𝑥2円に等しいとき,𝑎𝑘𝑎𝑘−1のあいだには (お) という関係がある。これを利用すれば,𝑛台すべての製造機を使って合計𝑥𝐋のジュースを製造するときに必要な費用の総額の最小値が (か) 円となることが分かる。